Browse by Stream
QnA
Home
QnA
Go To Your Study Dashboard

Get Answers to all your Questions

header-bg qa
  • Home
  • NCERT
  • Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n ∈ N: (5) 1.3+2.3^2+3.3^3+...+n.3^n=(2n-1)3^n+1+3/4

Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n\in \mathbb{N} :

Q : 5        1.3+2.3^2+3.3^3+...+n.3^n=\frac{(2n-1)3^{n+1}+3}{4}

Answers (1)

best_answer

Let the given statement be p(n) i.e.
p(n):1.3+2.3^2+3.3^3+...+n.3^n=\frac{(2n-1)3^{n+1}+3}{4}
For n = 1  we have
 p(1):3=\frac{(2(1)-1)3^{1+1}+3}{4}= \frac{(2-1)9+3}{4}=\frac{12}{4}=3  ,   which is true

For  n = k  we have

p(k):1.3+2.3^2+3.3^3+...+k.3^k=\frac{(2k-1)3^{k+1}+3}{4} \ \ \ \ \ \ -(i)   ,        Let's assume that this statement is true


Now,
For  n = k + 1  we have
p(k+1):1.3+2.3^2+3.3^3+...+(k+1).3^{(k+1)}                                                                                                                                                                                                                                                  =1.3+2.3^2+3.3^3+...+k.3^k+(k+1).3^{(k+1)}
                                                                 
                                                                                  =\frac{(2k-1)3^{k+1}+3}{4}+(k+1).3^{(k+1)}
                                                                                  =\frac{(2k-1)3^{k+1}+3+4(k+1).3^{(k+1)}}{4}
                                                                                  =\frac{3^{k+1}((2k-1)+4(k+1))+3}{4}
                                                                                  =\frac{3^{k+1}(6k+3)+3}{4}
                                                                                 =\frac{3^{k+1}.3(2k+1)+3}{4}
                                                                                 =\frac{(2k+1)3^{k+2}+3}{4}
                                                                                 =\frac{(2(k+1)-1)3^{(k+1)+1}+3}{4}
                                                                                                                                                                                                                                                              Thus,  p(k+1)  is true whenever p(k) is true
Hence, by the principle of mathematical induction, statement p(n)  is true for all natural numbers n

Posted by

Gautam harsolia

View full answer

Crack CUET with india's "Best Teachers"

  • HD Video Lectures
  • Unlimited Mock Tests
  • Faculty Support
cuet_ads

Similar Questions

Trending Articles/News

anam-khan

CBSE Date Sheet 2025 (Out) Live: Class 10, 12 board exam time table at cbse.gov.in; syllabus, sample papers
anam-khan

CBSE Class 12 board exam date sheet 2025 out; exams from February 15 to April 4
anam-khan

When will CBSE Board exam 2025 date sheet be released for Class 10, 12?

Latest Question