Browse by Stream
QnA
Home
QnA
Go To Your Study Dashboard

Get Answers to all your Questions

header-bg qa
  • Home
  • NCERT
  • Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n ∈ N: (23) 41^n-14^n is a multiple of 27.

Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n\in\mathbb{N} :

Q: 23        41^n-14^n is a multiple of  27.

Answers (1)

best_answer

Let the given statement be p(n) i.e.
p(n):41^n-14^n
For n = 1  we have
p(1):41^1-14^1= 41-14= 27   ,   which is divisible by 27, hence true                

For  n = k  we have

p(k):41^k-14^k \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -(i)   ,        Let's assume that this is divisible by  27  = 27m


Now,
For  n = k + 1  we have
 p(k+1):41^{k+1}-14^{k+1}                                                                                                                                                                                                                                                                                                 =41^{k}.41-14^{k}.14
                                                                                 =41(41^{k}-14^k+14^k)-14^{k}.14
                                                                                 =41(41^{k}-14^k)+14^k.41-14^{k}.14 
                                                                                 =41(27m)+14^k(41-14) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (using \ (i))
                                                                                 =41(27m)+14^k.27
                                                                                 =27(41m+14^k)
                                                                                 =27l                              where   l = 41m+14^k     some natural number
        
Thus,  p(k+1)  is true whenever p(k) is true
Hence, by the principle of mathematical induction, statement p(n)  is divisible by 27 for all natural numbers n                                                                               
                                                                                 
                                                                               
                                                                                 
                                                                                                                                                                                                                                                              

Posted by

Gautam harsolia

View full answer

Crack CUET with india's "Best Teachers"

  • HD Video Lectures
  • Unlimited Mock Tests
  • Faculty Support
cuet_ads

Similar Questions

Trending Articles/News

anam-khan

CBSE Single Girl Child Scholarship 2024: Registration extended till January 10; eligibility criteria, amount
anam-khan

CBSE wants international boards reined in; letter to education ministry seeks directions for AIU
anam-khan

PM Modi's Pariksha Pe Charcha 2025 to be held next month, registrations open till January 14

Latest Question