Browse by Stream
QnA
Home
QnA
Go To Your Study Dashboard

Get Answers to all your Questions

header-bg qa
  • Home
  • NCERT
  • Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n ∈ N: (8) 1.2+2.2^2+3.2^3+...+n.2^n=(2n-1)2^n+1+2

Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n\in \mathbb{N} :

Q: 8        

1.2+2.2^2+3.2^3+....+n.2^n=(n-1)n^{n+1}+2

Answers (1)

best_answer

Let the given statement be p(n) i.e.
p(n):1.2+2.2^2+3.2^3+...+n.2^n=(n-1)2^{n+1}+2
For n = 1  we havep(k):1.2+2.2^2+3.2^3+...+k.2^k=(k-1)2^{k^+1}+2 \ \ \ \ \ \ -(i)
p(1):1.2=2=(1-1)2^{1^+1}+2 = 2   ,   which is true

For  n = k  we have

p(k):1.2+2.2^2+3.2^3+...+k.2^k=(k-1)2^k^+^1+2 \ \ \ \ \ \ -(i)   ,        Let's assume that this statement is true


Now,
For  n = k + 1  we have
 p(k+1):1.2+2.2^2+3.2^3+...+(k+1).2^{k+1}                                                                                                                                                                                                                                                    =1.2+2.2^2+3.2^3+...+k.2^k+(k+1).2^{k+1}
                                                                 
                                                                                  =(k-1)2^{k+1}+2+(k+1).2^{k+1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (using \ (i))
                                                                                  =2^{k+1}(k-1+k+1)+2
                                                                                  =2^{k+1}(2k)+2
                                                                                  =k.2^{k+2}+2
                                                                                  =(k+1-1).2^{k+1+1}+2
                                                                                  
Thus,  p(k+1)  is true whenever p(k) is true
Hence, by the principle of mathematical induction, statement p(n)  is true for all natural numbers n                                                                               
                                                                                 
                                                                               
                                                                                 
                                                                                                                                                                                                                                                              

Posted by

Gautam harsolia

View full answer

Crack CUET with india's "Best Teachers"

  • HD Video Lectures
  • Unlimited Mock Tests
  • Faculty Support
cuet_ads

Similar Questions

Trending Articles/News

anam-khan

CBSE Date Sheet 2025 (Out) Live: Class 10, 12 board exam time table at cbse.gov.in; syllabus, sample papers
anam-khan

CBSE Class 12 board exam date sheet 2025 out; exams from February 15 to April 4
anam-khan

When will CBSE Board exam 2025 date sheet be released for Class 10, 12?

Latest Question