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  • Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n ∈ N: (6) 1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=[n(n+1)(n+2)/3]

Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n\in \mathbb{N} :

Q : 6        1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=\left [\frac{n(n+1)(n+2)}{3} \right ]

Answers (1)

best_answer

Let the given statement be p(n) i.e.
p(n):1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=\left [\frac{n(n+1)(n+2)}{3} \right ]
For n = 1  we have
p(1):2=\left [\frac{1(1+1)(1+2)}{3} \right ]= \frac{1.2.3}{3}=2   ,   which is true

For  n = k  we have

p(k):1.2+2.3+3.4+...+k.(k+1)=\left [\frac{k(k+1)(k+2)}{3} \right ] \ \ \ \ \ \ \ -(i)   ,        Let's assume that this statement is true


Now,
For  n = k + 1  we have
p(k+1):1.2+2.3+3.4+...+(k+1).(k+2)                                                                                                                                                                                                                                                  =1.2+2.3+3.4+...+k(k+1)+(k+1).(k+2)
                                                                 
                                                                                  =\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1).(k+2) \ \ \ \ \ \ \ \ \ (using \ (i))
                                                                                  =\frac{k(k+1)(k+2)+3(k+1).(k+2)}{3}
                                                                                  =\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}
                                                                                  =\frac{(k+1)(k+1+1)(k+1+2)}{3}
                                                                                 
Thus,  p(k+1)  is true whenever p(k) is true
Hence, by  principle of mathematical induction , statement p(n)  is true for all natural numbers n                                                                                 
                                                                                 
                                                                                                                                                                                                                                                              

Posted by

Gautam harsolia

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