Browse by Stream
QnA
Home
QnA
Go To Your Study Dashboard

Get Answers to all your Questions

header-bg qa
  • Home
  • NCERT
  • Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n ∈ N: (22) 3^2n+2-8n-9 is divisible by 8.

Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n\in \mathbb{N} :

Q: 22      3^{2n+2}-8n-9  is divisible by 8.

Answers (1)

best_answer

Let the given statement be p(n) i.e.
p(n):3^{2n+2}-8n-9
For n = 1  we have
p(1):3^{2(1)+2}-8(1)-9= 3^4-8-9=81-17=64=8\times 8   ,   which is divisible by 8, hence true                

For  n = k  we have

p(k):3^{2k+2}-8k-9 \ \ \ \ \ \ \ \ \ -(i)   ,        Let's assume that this is divisible by  8   = 8m


Now,
For  n = k + 1  we have
 p(k+1):3^{2(k+1)+2}-8(k+1)-9                                                                                                                                                                                                                                                                             =3^{2k+2+2}-8(k+1)-9
                                                                                 =3^{2k+2}.3^2-8k-8-9
                                                                                 =3^2(3^{2k+2}-8k-9+8k+9)-8k-17 
                                                                                 =3^2(3^{2k+2}-8k-9)+3^2(8k+9)-8k-17
                                                                                 =9\times 8m+9(8k+9)-8k-17 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (using \ (i))
                                                                                 =9\times 8m+72k+81-8k-17
                                                                                 =9\times 8m+80k-64
                                                                                 =9\times 8m+8(10k-8)                      
                                                                                 =8(9m+10k-8)
                                                                                 =8l                                          where   l= 9m+10k-8     some natural number
                                                                                                           
Thus,  p(k+1)  is true whenever p(k) is true
Hence, by the principle of mathematical induction, statement p(n)  is divisible by 8  for all natural numbers n                                                                               
                                                                                 
                                                                               
                                                                                 
                                                                                                                                                                                                                                                              

Posted by

Gautam harsolia

View full answer

Crack CUET with india's "Best Teachers"

  • HD Video Lectures
  • Unlimited Mock Tests
  • Faculty Support
cuet_ads

Similar Questions

Trending Articles/News

anam-khan

PM Modi's Pariksha Pe Charcha 2025 to be held next month, registrations open till January 14
anam-khan

CBSE Board Exams 2025: Online portal for availing exemptions by CWSN students opens
anam-khan

Board Exams: States agree to equivalence; no question paper ‘jumbling’ from next year, says PARAKH CEO

Latest Question