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  • Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n ∈ N: (19) n(n+1)(n+5) is a multiple of 3.

Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n\in \mathbb{N} :

Q: 19        n(n+1)(n+5)  is a multiple of 3.

Answers (1)

best_answer

Let the given statement be p(n) i.e.
p(n):n(n+1)(n+5)
For n = 1  we have
p(1):1(1+1)(1+5)=1.2.6=12   ,   which is multiple of 3, hence true

For  n = k  we have

p(k):k(k+1)(k+5) \ \ \ \ \ \ \ -(i)   ,        Let's assume that this is multiple of 3 = 3m


Now,
For  n = k + 1  we have
 p(k+1):(k+1)((k+1)+1)((k+1)+5)                                                                                                                                                                                                                                                          =(k+1)(k+2)((k+5)+1)
                                                                 
                                                                                 =(k+1)(k+2)(k+5)+(k+1)(k+2) 
                                                                                 =k(k+1)(k+5)+2(k+1)(k+5)+(k+1)(k+2)
                                                                                 =3m+2(k+1)(k+5)+(k+1)(k+2) \ \ \ \ \ \ \ \ (using \ (i))
                                                                                 =3m+(k+1)(2(k+5)+(k+2)) \ \ \ \ \ \ \ \ (using \ (i))
                                                                                  =3m+(k+1)(2k+10+k+2)
                                                                                  =3m+(k+1)(3k+12)
                                                                                  =3m+3(k+1)(k+4)
                                                                                  =3(m+(k+1)(k+4) )
                                                                                  =3l                                                Where \left ( l=(m+(k+1)(k+4) ) \right )   some natural number
                                                                                  
Thus,  p(k+1)  is true whenever p(k) is true
Hence, by the principle of mathematical induction, statement p(n)  is multiple of 3 for all natural numbers n                                                                               
                                                                                 
                                                                               
                                                                                 
                                                                                                                                                                                                                                                              

Posted by

Gautam harsolia

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