# Q : 13            If   $\small A=\begin{bmatrix} 3 &1 \\ -1 &2 \end{bmatrix}$​ , show that  $A^2-5A+7I=O$. Hence find $\small A^-^1$

Given $\small A=\begin{bmatrix} 3 &1 \\ -1 &2 \end{bmatrix}$ then we have to show the relation $A^2-5A+7I=0$

So, calculating each term;

$A^2 = \begin{bmatrix} 3& 1\\ -1& 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3&1 \\ -1& 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9-1 &3+2 \\ -3-2&-1+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 &5 \\ -5& 3 \end{bmatrix}$

therefore  $A^2-5A+7I$;

$=\begin{bmatrix} 8 &5 \\ -5& 3 \end{bmatrix} - 5\begin{bmatrix} 3 &1 \\ -1& 2 \end{bmatrix} + 7 \begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} 8 &5 \\ -5& 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 15 &5 \\ -5& 10 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 &0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 8-15+7 &&5-5+0 \\ -5+5+0 && 3-10+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 &&0 \\ 0 && 0 \end{bmatrix}$

Hence $A^2-5A+7I = 0$.

$\therefore A.A -5A = -7I$

$\Rightarrow A.A(A^{-1}) - 5AA^{-1} = -7IA^{-1}$

[Post multiplying by $A^{-1}$, also $|A| \neq 0$]

$\Rightarrow A(AA^{-1}) - 5I = -7A^{-1}$

$\Rightarrow AI - 5I = -7A^{-1}$

$\Rightarrow -\frac{1}{7}(AI - 5I)= \frac{1}{7}(5I-A)$

$\therefore A^{-1} = \frac{1}{7}(5\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3 &1 \\ -1& 2 \end{bmatrix}) = \frac{1}{7}\begin{bmatrix} 2 &-1 \\ 1& 3 \end{bmatrix}$

Exams
Articles
Questions