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Integrate: 1 / cos ^2 heta ( tan 2 theta +sec 2 theta)

Answers (1)

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Solution:   We have , 

                 I=int frac1cos^2 heta( an 2 heta+sec 2 heta)d heta

               ecause an 2 heta=frac2 an heta1- an^2 heta hspace0.5cm,cos 2 heta=frac1- an^2 heta1+ an^2 heta

            \ \ herefore I=int frac1cos^2 heta (frac2 an heta1- an^2 heta+frac1+ an^2 heta1- an^2 heta)d heta \ \ Rightarrow I=int fracsec^2 heta (1- an^2 heta)(1+ an heta)^2d heta

     Put            an heta =tRightarrow sec^2 heta d heta=dt

         \ \ Rightarrow I=int frac1-t^2(1+t)^2dt=int frac1-t1+tdt\ \ Rightarrow I=int frac2-(1+t)1+tdt=2int frac11+tdt -int 1 cdot dt\ \ Rightarrow I=2 log_eleft | 1+t ight |-t+C

  Hence ,          I=2log_eleft | 1+ an heta ight |- an heta +C.

        

           

         

Posted by

Deependra Verma

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