# Let $f:R\rightarrow R$ be a differentiable function satisfying $f'(3)+f'(2)=0$. Then $\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{1+f(3+x)-f(3)}{1+f(2-x)-f(2)} \right )^{\frac{1}{x}}$is equal to: Option 1) $1$ Option 2) $e^{-1}$ Option 3) $e$ Option 4) $e^{2}$

$\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{1+f(3+x)-f(3)}{1+f(2-x)-f(2)} \right )^{\frac{1}{x}}$

$1^{\infty}$ form.

$e^{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\left ( \frac{1+f(3+x)-f(3)}{1+f(2-x)-f(2)}-1 \right )}$

$\Rightarrow e^{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\left ( \frac{f(3+x)-f(3)-f(2-x)+f(2)}{1+f(2-x)-f(2)} \right )}$

$\frac{0}{0}$ form, Apply L'Hapital rule

$\Rightarrow e^{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f'(3+x)+f'(2-x)}{(-f'(2-x)x+f(2-x)-f(2)+1)}}$

$\Rightarrow e^{f'(3)+f'(2)}=e^{0}=1$

Option 1)

$1$

Option 2)

$e^{-1}$

Option 3)

$e$

Option 4)

$e^{2}$

Exams
Articles
Questions