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If \int (e^{2x}+2e^{x}-e^{-x}-1)e^{(e^{x}+e^{-x})}dx=g(x)e^{(e^{x}+e^{-x})}+c,  where c is a constant of integration, then g(0) is equal to :
Option: 1 e
Option: 2 e^{2}
Option: 3 1
Option: 4 2

Answers (1)

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\\\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}+2 \mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}-1 \\ =\mathrm{e}^{\mathrm{x}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+1\right)-\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+1\right)+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \\ \left.=\left[\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+1\right)\right]\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}\right)+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}\right]

\\ \text { so } \mathrm{I}=\int\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+1\right)\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}}+\int \mathrm{e}^{\mathrm{x}} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}} \mathrm{d} \mathrm{x} \\ =\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+1\right) \mathrm{e}^{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}}-\int \mathrm{e}^{\mathrm{x}} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}} \mathrm{d} \mathrm{x}+\int \mathrm{e}^{\mathrm{x}} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}} \mathrm{d} \mathrm{x} \\ =\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+1\right) \mathrm{e}^{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}}+\mathrm{C} \\ \therefore \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+1 \Rightarrow \mathrm{g}(0)=2

Posted by

himanshu.meshram

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