Q

# Need clarity, kindly explain! - Co-ordinate geometry - JEE Main-4

Let P be the point of intersection of the common tangents to the parabola $y^{2}=12x$ and the hyperbola $8x^{2}-y^{2}=8$. If S and S' denote the foci of the hyperbola where S lies on the positive x-axis then P divides SS' in a ratio :

• Option 1)

$14:13$

• Option 2)

$5:4$

• Option 3)

$13:11$

• Option 4)

$2:1$

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Parabola $y^{2}=12x$

hyperbola  $8x^{2}-y^{2}=8$

$\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{8}=1$

Equation of tangents

$y^{2}=12x\Rightarrow y=2x+\frac{3}{m}$

$\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{^{2}}}{8}=1\: \Rightarrow y=mx\pm \sqrt{m^{2}-8}$

Since they are common tangent

$\therefore \frac{3}{m}=\pm \sqrt{m^{2}-8}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$                                              Eccentricity of hyperbola

$\frac{9}{m^{2}}=m^{2}-8\: \: \: \: \: \: \: \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: e=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}$

$m^{4}-8m^{2}-9=0\: \: \: \: \: \: \: \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: =\frac{\sqrt{1+8}}{1}$

$m^{4}-\left ( 9-1 \right )m^{2}-9=0\: \: \: \: \: \: \: \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: =3$

$\left ( m^{2}-9 \right )\left ( m^{2}+1 \right )=0\: \: \: \: \: \: \: \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$m=\pm 3\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: e=3$

$\therefore y=3x+1\: \: \: \: \: \: P\left ( -\frac{1}{3},0 \right )$

$y=-3x-1$

$S=\left ( 3,0 \right )$

$S'=\left (- 3,0 \right )$

So ratio$=\frac{10}{3}\times \frac{3}{8}=\frac{5}{4}$

$5:4$

Option 1)

$14:13$

Option 2)

$5:4$

Option 3)

$13:11$

Option 4)

$2:1$

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