Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n\in\mathbb{N} :

Q: 9        \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}

Answers (1)
G Gautam harsolia

Let the given statement be p(n) i.e.
p(n):\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}
For n = 1  we have
p(1):\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2^1}= 1-\frac{1}{2} = \frac{1}{2}   ,   which is true

For  n = k  we have

p(k):\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^k}=1-\frac{1}{2^k} \ \ \ \ \ \ \ \ \ -(i)   ,        Let's assume that this statement is true


Now,
For  n = k + 1  we have
 p(k+1):\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{k+1}}                                                                                                                                                                                                                                                                             =\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}}
                                                                 
                                                                                 =1-\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (using \ (i)) 
                                                                                  =1-\frac{1}{2^k}\left (1-\frac{1}{2} \right )
                                                                                  =1-\frac{1}{2^k}\left (\frac{1}{2} \right )
                                                                                  =1-\frac{1}{2^{k+1}}
                                                                                  

Thus,  p(k+1)  is true whenever p(k) is true
Hence, by the principle of mathematical induction, statement p(n)  is true for all natural numbers n                                                                               
                                                                                 

                                                                               
                                                                                 
                                                                                                                                                                                                                                                              

Exams
Articles
Questions