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  • Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n ∈ N: (14)

Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n\in\mathbb{N} :

Q: 14  \left ( 1+\frac{1}{1} \right )\left ( 1+\frac{1}{2} \right )\left ( 1+\frac{1}{3} \right )...\left ( 1+\frac{1}{n} \right )=(n+1)
 

Answers (1)

best_answer

Let the given statement be p(n) i.e.
p(n):\left ( 1+\frac{1}{1} \right )\left ( 1+\frac{1}{2} \right )\left ( 1+\frac{1}{3} \right )...\left ( 1+\frac{1}{n} \right )=(n+1)
For n = 1  we have
p(1):\left ( 1+\frac{1}{1} \right )=2=(1+1)=2   ,   which is true

For  n = k  we have

p(k):\left ( 1+\frac{1}{1} \right )\left ( 1+\frac{1}{2} \right )\left ( 1+\frac{1}{3} \right )...\left ( 1+\frac{1}{k} \right )=(k+1) \ \ \ \ \ \ \ -(i)   ,        Let's assume that this statement is true


Now,
For  n = k + 1  we have
 p(k+1):\left ( 1+\frac{1}{1} \right )\left ( 1+\frac{1}{2} \right )\left ( 1+\frac{1}{3} \right )...\left ( 1+\frac{1}{k+1} \right )                                                                                                                                                                                                                                 =\left ( 1+\frac{1}{1} \right )\left ( 1+\frac{1}{2} \right )\left ( 1+\frac{1}{3} \right )...\left ( 1+\frac{1}{k} \right )\left ( 1+\frac{1}{k+1} \right )
                                                                 
                                                                                 =(k+1)\left ( 1+\frac{1}{k+1} \right ) \ \ \ \ \ \ \ (using \ (i)) 
                                                                                 =(k+1)\left ( \frac{k+1+1}{k+1} \right )
                                                                                  =(k+2)
                                                                                  =(k+1+1)
                                                                               
                                                                                  
Thus,  p(k+1)  is true whenever p(k) is true
Hence, by the principle of mathematical induction, statement p(n)  is true for all natural numbers n                                                                               
                                                                                 
                                                                               
                                                                                 
                                                                                                                                                                                                                                                              

Posted by

Gautam harsolia

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