Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n\in \mathbb{N} :

Q: 18        1+2+3+...+n<\frac{1}{8}(2n+1)^2.

Answers (1)

Let the given statement be p(n) i.e.
p(n):1+2+3+...+n<\frac{1}{8}(2n+1)^2.
For n = 1  we have
p(1):1<\frac{1}{8}(2(1)+1)^2= \frac{1}{8}(3)^2=\frac{9}{8}   ,   which is true

For  n = k  we have

p(k):1+2+3+...+k<\frac{1}{8}(2k+1)^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ -(i)   ,        Let's assume that this statement is true


Now,
For  n = k + 1  we have
 p(k+1):1+2+3+...+k+1                                                                                                                                                                                                                                                                              =1+2+3+...+k+k+1
                                                                 
                                                                                 < \frac{1}{8}\left ( 2k+1 \right )^2+(k+1) \ \ \ \ \ \ \ \ \ (using \ (i)) 
                                                                                 < \frac{1}{8}\left ( (2k+1)^2+8(k+1) \right )
                                                                                  < \frac{1}{8}\left ( 4k^2+4k+1+8k+8 \right )
                                                                                  < \frac{1}{8}\left ( 4k^2+12k+9\right )
                                                                                  < \frac{1}{8}\left ( 2k+3\right )^2
                                                                                   < \frac{1}{8}\left ( 2(k+1)+1\right )^2
              
                                                                                  

Thus,  p(k+1)  is true whenever p(k) is true
Hence, by the principle of mathematical induction, statement p(n)  is true for all natural numbers n                                                                               
                                                                                 

                                                                               
                                                                                 
                                                                                                                                                                                                                                                              

Exams
Articles
Questions