Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n\in\mathbb{N} :

Q: 13    \left ( 1+\frac{3}{1} \right )\left ( 1+\frac{5}{4} \right )\left ( 1+\frac{7}{9} \right )..\left ( 1+\frac{(2n+1)}{n^2} \right )=(n+1)^2
 

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G Gautam harsolia

Let the given statement be p(n) i.e.
p(n):\left ( 1+\frac{3}{1} \right )\left ( 1+\frac{5}{4} \right )\left ( 1+\frac{7}{9} \right )..\left ( 1+\frac{(2n+1)}{n^2} \right )=(n+1)^2
For n = 1  we have
p(1):\left ( 1+\frac{3}{1} \right )= 4=(1+1)^2=2^2=4   ,   which is true

For  n = k  we have

p(k):\left ( 1+\frac{3}{1} \right )\left ( 1+\frac{5}{4} \right )\left ( 1+\frac{7}{9} \right )..\left ( 1+\frac{(2k+1)}{k^2} \right )=(k+1)^2 \ \ \ \ \ \ \ \ -(i)   ,        Let's assume that this statement is true


Now,
For  n = k + 1  we have
 p(k+1):\left ( 1+\frac{3}{1} \right )\left ( 1+\frac{5}{4} \right )\left ( 1+\frac{7}{9} \right )..\left ( 1+\frac{(2(k+1)+1)}{(k+1)^2} \right )                                                                                                                                                                                                                 =\left ( 1+\frac{3}{1} \right )\left ( 1+\frac{5}{4} \right )\left ( 1+\frac{7}{9} \right )..\left ( 1+\frac{2k+1}{k^2} \right )\left ( 1+\frac{(2(k+1)+1)}{(k+1)^2} \right )
                                                                 
                                                                                 =(k+1)^2\left ( 1+\frac{(2(k+1)+1)}{(k+1)^2} \right ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (using \ (i)) 
                                                                                 =(k+1)^2\left ( \frac{{}(k+1)^2+(2(k+1)+1)}{(k+1)^2} \right )
                                                                                  =(k^2+1+2k+2k+2+1)
                                                                                  =(k^2+4k+4)
                                                                                  =(k+2)^2
                                                                                  =(k+1+1)^2
                                                                                
                                                                                  

Thus,  p(k+1)  is true whenever p(k) is true
Hence, by the principle of mathematical induction, statement p(n)  is true for all natural numbers n                                                                               
                                                                                 

                                                                               
                                                                                 
                                                                                                                                                                                                                                                              

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