Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n\in \mathbb{N} :

Q : 15        1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}

Answers (1)

Let the given statement be p(n) i.e.
p(n):1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}
For n = 1  we have
p(1):1^2=1=\frac{1(2(1)-1)(2(1)+1)}{3}= \frac{1.1.3}{3}=1   ,   which is true

For  n = k  we have

p(k):1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2=\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -(i)   ,        Let's assume that this statement is true


Now,
For  n = k + 1  we have
 p(k+1):1^2+3^2+5^2+...+(2(k+1)-1)^2                                                                                                                                                                                                                                                    =1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2+(2(k+1)-1)^2
                                                                 
                                                                                 =\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}+(2(k+1)-1)^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (using \ (i)) 
                                                                                 =\frac{k(2k-1)(2k+1)+3(2(k+1)-1)^2}{3}
                                                                                  =\frac{k(2k-1)(2k+1)+3(2k+1)^2}{3}
                                                                                  =\frac{(2k+1)(k(2k-1)+3(2k+1))}{3}
                                                                                  =\frac{(2k+1)(2k^2-k+6k+3)}{3}
                                                                                   =\frac{(2k+1)(2k^2+5k+3)}{3}
                                                                                   =\frac{(2k+1)(2k^2+2k+3k+3)}{3}
                                                                                    =\frac{(2k+1)(2k+3)(k+1)}{3}
                                                                                    =\frac{(k+1)(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)}{3}
                                                                               
                                                                                  

Thus,  p(k+1)  is true whenever p(k) is true
Hence, by the principle of mathematical induction, statement p(n)  is true for all natural numbers n                                                                               
                                                                                 

                                                                               
                                                                                 
                                                                                                                                                                                                                                                              

Exams
Articles
Questions