Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n\in \mathbb{N} :

Q: 16      \frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}+...+\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{n}{(3n+1)}
 

Answers (1)

Let the given statement be p(n) i.e.
p(n):\frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}+...+\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{n}{(3n+1)}
For n = 1  we have
p(1):\frac{1}{1.4}=\frac{1}{4}=\frac{1}{(3(1)+1)}=\frac{1}{3+1}=\frac{1}{4}   ,   which is true

For  n = k  we have

p(k):\frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}+...+\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}=\frac{k}{(3k+1)} \ \ \ \ \ \ \ -(i)   ,        Let's assume that this statement is true


Now,
For  n = k + 1  we have
 p(k+1):\frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}+...+\frac{1}{(3(k+1)-2)(3(k+1)+1)}                                                                                                                                                                                                             =\frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}+...+\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}+\frac{1}{(3(k+1)-2)(3(k+1)+1)}
                                                                 
                                                                                 =\frac{k}{3k+1}+\frac{1}{(3k+1)(3k+4)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ (using \ (i)) 
                                                                                 =\frac{1}{3k+1}\left ( k+\frac{1}{3k+4} \right )
                                                                                  =\frac{1}{3k+1}\left ( \frac{k(3k+4)+1}{3k+4} \right )
                                                                                  =\frac{1}{3k+1}\left ( \frac{3k^2+4k+1}{3k+4} \right )
                                                                                  =\frac{1}{3k+1}\left ( \frac{3k^2+3k+k+1}{3k+4} \right )
                                                                                   =\frac{1}{3k+1}\left ( \frac{(3k+1)(k+1)}{3k+4} \right )
                                                                                   = \frac{(k+1)}{3k+4}
                                                                                    = \frac{(k+1)}{3(k+1)+1}
                                                                      
                                                                                  

Thus,  p(k+1)  is true whenever p(k) is true
Hence, by the principle of mathematical induction, statement p(n)  is true for all natural numbers n                                                                               
                                                                                 

                                                                               
                                                                                 
                                                                                                                                                                                                                                                              

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