Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n\in\mathbb{N} :

Q: 10        \frac{1}{2.5}+\frac{1}{5.8}+\frac{1}{8.11}+...+\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}=\frac{n}{(6n+4)}

Answers (1)

Let the given statement be p(n) i.e.
p(n):\frac{1}{2.5}+\frac{1}{5.8}+\frac{1}{8.11}+...+\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}=\frac{n}{(6n+4)}
For n = 1  we have
p(1):\frac{1}{2.5}= \frac{1}{10}=\frac{1}{(6(1)+4)}= \frac{1}{10}   ,   which is true

For  n = k  we have

p(k):\frac{1}{2.5}+\frac{1}{5.8}+\frac{1}{8.11}+...+\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}=\frac{k}{(6k+4)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ -(i)   ,        Let's assume that this statement is true


Now,
For  n = k + 1  we have
 p(k+1):\frac{1}{2.5}+\frac{1}{5.8}+\frac{1}{8.11}+...+\frac{1}{(3(k+1)-1)(3(k+1)+2)}                                                                                                                                                                                                             =\frac{1}{2.5}+\frac{1}{5.8}+\frac{1}{8.11}+...+\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}+\frac{1}{(3(k+1)-1)(3(k+1)+2)}
                                                                 
                                                                                 =\frac{k}{6k+4}+\frac{1}{(3k+2)(3k+5)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (using \ (i)) 
                                                                                  =\frac{1}{3k+2}\left ( \frac{k}{2}+\frac{1}{3k+5} \right )
                                                                                  =\frac{1}{3k+2}\left ( \frac{k(3k+5)+2}{2(3k+5)} \right )
                                                                                  =\frac{1}{3k+2}\left ( \frac{3k^2+5k+2}{2(3k+5)} \right )
                                                                                  =\frac{1}{3k+2}\left ( \frac{3k^2+3k+2k+2}{2(3k+5)} \right )
                                                                                  =\frac{1}{3k+2}\left ( \frac{(3k+2)(k+1)}{2(3k+5)} \right )
                                                                                  =\frac{(k+1)}{6k+10}
                                                                                   =\frac{(k+1)}{6(k+1)+4}
                                                                                  

Thus,  p(k+1)  is true whenever p(k) is true
Hence, by the principle of mathematical induction, statement p(n)  is true for all natural numbers n                                                                               
                                                                                 

                                                                               
                                                                                 
                                                                                                                                                                                                                                                              

Exams
Articles
Questions