Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n\in N :

Q : 17       \frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\frac{1}{7.9}+...+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{n}{3(2n+3)}

Answers (1)

Let the given statement be p(n) i.e.
p(n):\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\frac{1}{7.9}+...+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{n}{3(2n+3)}
For n = 1  we have
p(1):\frac{1}{3.5}= \frac{1}{15}=\frac{1}{3(2(1)+3)}=\frac{1}{3.5}=\frac{1}{15}   ,   which is true

For  n = k  we have

p(k):\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\frac{1}{7.9}+...+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k}{3(2k+3)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -(i)   ,        Let's assume that this statement is true


Now,
For  n = k + 1  we have
 p(k+1):\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\frac{1}{7.9}+...+\frac{1}{(2(k+1)+1)(2(k+1)+3)}                                                                                                                                                                                                              =\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\frac{1}{7.9}+...+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}+\frac{1}{(2(k+1)+1)(2(k+1)+3)}
                                                                 
                                                                                 =\frac{k}{3(2k+3)}+\frac{1}{(2k+3)(2k+5)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (using \ (i)) 
                                                                                 =\frac{1}{2k+3}\left ( \frac{k}{3}+\frac{1}{2k+5} \right )
                                                                                  =\frac{1}{2k+3}\left ( \frac{k(2k+5)+3}{3(2k+5)} \right )
                                                                                  =\frac{1}{2k+3}\left ( \frac{2k^2+5k+3}{3(2k+5)} \right )
                                                                                  =\frac{1}{2k+3}\left ( \frac{2k^2+2k+3k+3}{3(2k+5)} \right )
                                                                                   =\frac{1}{2k+3}\left ( \frac{(2k+3)(k+1)}{3(2k+5)} \right )
                                                                                   = \frac{(k+1)}{3(2k+5)}
                                                                                    = \frac{(k+1)}{3(2(k+1)+3)}
                                                                      
                                                                                  

Thus,  p(k+1)  is true whenever p(k) is true
Hence, by the principle of mathematical induction, statement p(n)  is true for all natural numbers n                                                                               
                                                                                 

                                                                               
                                                                                 
                                                                                                                                                                                                                                                              

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