Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n\in N :

Q: 20            10^{2n-1}+1   is a divisible by 11. 

Answers (1)
G Gautam harsolia

Let the given statement be p(n) i.e.
p(n):10^{2n-1}+1
For n = 1  we have
p(1):10^{2(1)-1}+1= 10^{2-1}+1=10^1+1=11   ,   which is divisible by 11, hence true

For  n = k  we have

p(k):10^{2k-1}+1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -(i)   ,        Let's assume that this is divisible by 11 = 11m


Now,
For  n = k + 1  we have
 p(k+1):10^{2(k+1)-1}+1                                                                                                                                                                                                                                                                                                =10^{2k+2-1}+1
                                                                 
                                                                                 =10^{2k+1}+1 
                                                                                 =10^2(10^{2k-1}+1-1)+1
                                                                                 =10^2(10^{2k-1}+1)-10^2+1
                                                                                 =10^2(11m)-100+1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (using \ (i))
                                                                                  =100(11m)-99
                                                                                  =11(100m-9)
                                                                                  =11l                          Where   l= (100m-9)   some natural number


Thus,  p(k+1)  is true whenever p(k) is true
Hence, by the principle of mathematical induction, statement p(n)  is divisible by 11  for all natural numbers n                                                                               
                                                                                 

                                                                               
                                                                                 
                                                                                                                                                                                                                                                              

Exams
Articles
Questions