Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n\in \mathbb{N} :

Q: 24    (2n+7)<(n+3)^2

Answers (1)

Let the given statement be p(n) i.e.
p(n):(2n+7)<(n+3)^2
For n = 1  we have
p(1):(2(1)+7)<(1+3)^2\Rightarrow 9< 16   ,   which is  true                

For  n = k  we have

p(k):(2k+7)<(k+3)^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -(i)   ,        Let's assume that this is true


Now,
For  n = k + 1  we have
 p(k+1):(2(k+1)+7)                                                                                                                                                                                                                                                                                                 =(2k+2+7)
                                                                                 <(k+3)^2+2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (using \ (i))
                                                                                 <k^2+9+6k+2 
                                                                                 <k^2+6k+11
                                                                                 Now , \ <k^2+6k+11<k^2+8k+16
                                                                                 <(k+4)^2
                                                                                <((k+1)+3)^2
        

Thus,  p(k+1)  is true whenever p(k) is true
Hence, by the principle of mathematical induction, statement p(n)  is true  for all natural numbers n                                                                               
                                                                                 

                                                                               
                                                                                 
                                                                                                                                                                                                                                                              

Exams
Articles
Questions