Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n\in \mathbb{N} :

Q: 22      3^{2n+2}-8n-9  is divisible by 8.

Answers (1)

Let the given statement be p(n) i.e.
p(n):3^{2n+2}-8n-9
For n = 1  we have
p(1):3^{2(1)+2}-8(1)-9= 3^4-8-9=81-17=64=8\times 8   ,   which is divisible by 8, hence true                

For  n = k  we have

p(k):3^{2k+2}-8k-9 \ \ \ \ \ \ \ \ \ -(i)   ,        Let's assume that this is divisible by  8   = 8m


Now,
For  n = k + 1  we have
 p(k+1):3^{2(k+1)+2}-8(k+1)-9                                                                                                                                                                                                                                                                             =3^{2k+2+2}-8(k+1)-9
                                                                                 =3^{2k+2}.3^2-8k-8-9
                                                                                 =3^2(3^{2k+2}-8k-9+8k+9)-8k-17 
                                                                                 =3^2(3^{2k+2}-8k-9)+3^2(8k+9)-8k-17
                                                                                 =9\times 8m+9(8k+9)-8k-17 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (using \ (i))
                                                                                 =9\times 8m+72k+81-8k-17
                                                                                 =9\times 8m+80k-64
                                                                                 =9\times 8m+8(10k-8)                      
                                                                                 =8(9m+10k-8)
                                                                                 =8l                                          where   l= 9m+10k-8     some natural number
                                                                                                           

Thus,  p(k+1)  is true whenever p(k) is true
Hence, by the principle of mathematical induction, statement p(n)  is divisible by 8  for all natural numbers n                                                                               
                                                                                 

                                                                               
                                                                                 
                                                                                                                                                                                                                                                              

Exams
Articles
Questions