Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n\in\mathbb{N} :

Q: 23        41^n-14^n is a multiple of  27.

Answers (1)

Let the given statement be p(n) i.e.
p(n):41^n-14^n
For n = 1  we have
p(1):41^1-14^1= 41-14= 27   ,   which is divisible by 27, hence true                

For  n = k  we have

p(k):41^k-14^k \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -(i)   ,        Let's assume that this is divisible by  27  = 27m


Now,
For  n = k + 1  we have
 p(k+1):41^{k+1}-14^{k+1}                                                                                                                                                                                                                                                                                                 =41^{k}.41-14^{k}.14
                                                                                 =41(41^{k}-14^k+14^k)-14^{k}.14
                                                                                 =41(41^{k}-14^k)+14^k.41-14^{k}.14 
                                                                                 =41(27m)+14^k(41-14) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (using \ (i))
                                                                                 =41(27m)+14^k.27
                                                                                 =27(41m+14^k)
                                                                                 =27l                              where   l = 41m+14^k     some natural number
        

Thus,  p(k+1)  is true whenever p(k) is true
Hence, by the principle of mathematical induction, statement p(n)  is divisible by 27 for all natural numbers n                                                                               
                                                                                 

                                                                               
                                                                                 
                                                                                                                                                                                                                                                              

Exams
Articles
Questions