Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n\in\mathbb{N} :

Q : 12    a+ar+ar^2+...+ar^{n-1}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}

Answers (1)

Let the given statement be p(n) i.e.
p(n):a+ar+ar^2+...+ar^{n-1}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}
For n = 1  we have
p(1):a=\frac{a(r^1-1)}{r-1}=\frac{r-1}{r-1}=1   ,   which is true

For  n = k  we have

p(k):a+ar+ar^2+...+ar^{k-1}=\frac{a(r^k-1)}{r-1} \ \ \ \ \ \ \ -(i)   ,        Let's assume that this statement is true


Now,
For  n = k + 1  we have
 p(k+1):a+ar+ar^2+...+ar^{k}                                                                                                                                                                                                                                                                             =a+ar+ar^2+...+ar^{k-1}+ar^{k}
                                                                 
                                                                                 =a.\frac{r^k-1}{r-1}+ar^{k} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (using \ (i)) 
                                                                                 =\frac{a(r^k-1)+(r-1)ar^{k}}{r-1}
                                                                                  =\frac{ar^k(1+r-1)-a}{r-1}
                                                                                  =\frac{ar^k.r-a}{r-1}
                                                                                  =\frac{a(r^{k+1}-1)}{r-1}
                                                                                
                                                                                  

Thus,  p(k+1)  is true whenever p(k) is true
Hence, by the principle of mathematical induction, statement p(n)  is true for all natural numbers n                                                                               
                                                                                 

                                                                               
                                                                                 
                                                                                                                                                                                                                                                              

Exams
Articles
Questions