Prove the following by using the principle of mathematical induction for all n\in \mathbb{N} :

Q: 21        x^2^n-y^2^n is divisible by  x+y.

Answers (1)

Let the given statement be p(n) i.e.
p(n):x^2^n-y^2^n
For n = 1  we have
p(1):x^{2(1)}-y^{2(1)}= x^2-y^2=(x-y)(x+y)   ,   which is divisible by   (x+y) , hence true                (using \ a^2-b^2=(a+b)(a-b))

For  n = k  we have

p(k):x^{2k}-y^{2k} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -(i)   ,        Let's assume that this is divisible by (x+y)   =(x+y)m


Now,
For  n = k + 1  we have
 p(k+1):x^{2(k+1)}-y^{2(k+1)}                                                                                                                                                                                                                                                                                             =x^{2k}.x^2-y^{2k}.y^2
                                                                 
                                                                                 =x^2(x^{2k}+y^{2k}-y^{2k})-y^{2k}.y^2 
                                                                                 =x^2(x^{2k}-y^{2k})+x^2.y^{2k}-y^{2k}.y^2
                                                                                 =x^2(x+y)m+(x^2-y^2)y^{2k} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (using \ (i))
                                                                                 =x^2(x+y)m+((x-y)(x+y))y^{2k} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (using \ a^2-b^2=(a+b)(a-b))
                                                                                 =(x+y)\left ( x^2.m+(x-y).y^{2k} \right )
                                                                                  =(x+y)l                         where   l = (x^2.m+(x-y).y^{2k})     some natural number
                                                                                                           

Thus,  p(k+1)  is true whenever p(k) is true
Hence, by the principle of mathematical induction, statement p(n)  is divisible by (x+y)  for all natural numbers n                                                                               
                                                                                 

                                                                               
                                                                                 
                                                                                                                                                                                                                                                              

Exams
Articles
Questions