Using elementary row transformation ,find the inverse of the matrix <img alt="\begin{bmatrix} 3 & 0 &-1 \\ 2 & 3 &0 \\ 0&4 & 1 \end{bmatrix}" src="https://entrancecorner.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%203%20

Using elementary row transformation ,find the inverse of the matrix
$\begin{bmatrix} 3 & 0 &-1 \\ 2 & 3 &0 \\ 0&4 & 1 \end{bmatrix}$ .

Answers (1)

Let $A= \begin{bmatrix} 3 & 0 &-1 \\ 2&3 &0 \\ 0& 4 &1 \end{bmatrix}$
By row transformation , A=IA
$A= \begin{bmatrix} 3 & 0 &-1 \\ 2&3 &0 \\ 0& 4 &1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0& 0 &1 \end{bmatrix}A$
By $R_{1}\rightarrow R_{1}-R_{2}$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} 1& -3 &-1 \\ 2&3 &0 \\ 0& 4 &1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & -1 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0& 0 &1 \end{bmatrix}A$
By $R_{2}\rightarrow R_{2}-2R_{1}$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} 1& -3 &-1 \\ 0&9 &2 \\ 0& 4 &1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & -1 &0 \\ -2&3 &0 \\ 0& 0 &1 \end{bmatrix}A$
By $R_{2}\rightarrow R_{2}-2R_{3}$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} 1& -3 &-1 \\ 0&1 &0 \\ 0& 4 &1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & -1 &0 \\ -2&3 &-2 \\ 0& 0 &1 \end{bmatrix}A$
By $R_{3}\rightarrow R_{3}-4R_{2}$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} 1& -3 &-1 \\ 0&1 &0 \\ 0& 0 &1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & -1 &0 \\ -2&3 &-2 \\ 8& -12 &9 \end{bmatrix}A$
By $R_{1}\rightarrow R_{1}+R_{3}$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} 1& -3 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0& 0 &1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 9 & -13 &9 \\ -2&3 &-2 \\ 8& -12 &9 \end{bmatrix}A$
By $R_{1}\rightarrow R_{1}+3R_{2}$
$= \begin{bmatrix} 1& 0 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0& 0 &1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3 & -4 &3 \\ -2&3 &-2 \\ 8& -12 &9 \end{bmatrix}A$
Hence $A^{-1}= \begin{bmatrix} 3& -4 &3 \\ -2&3 &-2 \\ 8& -12 &9 \end{bmatrix}$